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干燥的灵魂潮湿的心

飞翔的鸿鹄啊,今夜为我打开寂静之门

 
 
 

日志

 
 

大地上的河流  

2014-06-17 08:53:02|  分类: 默认分类 |  标签: |举报 |字号 订阅

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Uak4YU3.gif图片来源:google

tumblr_n57h0djocY1qfg7o3o1_r1_400.gif图片作者可能是blog.matthen.com

Hello?走错片场了吧?标题写的是数学啊?

没有错,这是数学里诸多脑洞大开的定理之一:平原上的河流,从源头到出海口的干流总长度(蓝线)和源头到出海口之间的直线距离(红线)的比值,平均而言比3大一点儿。更准确地说,这个比值应当趋近于π。

图中所示是秘鲁艾尔·西拉保护区里的一条河流,虽然因为地形和时间尺度原因,其比值更接近于2.5,不过意思大家已经看到了。

但是这真的是数学!因为河流的自组织过程很容易形成分形。

一条完美的笔直河流是平衡的,但这是不稳定的平衡。现实中的河流总会因为各种原因而有所弯曲,一旦河道打弯,弯道内侧和外侧的水流速度就会出现差异,外侧遭到冲刷,而内侧则发生沉积。久而久之弯曲会越来越大,最终河道裁弯取直形成牛轭湖,开始新的循环。

而1996年《科学》上的一篇论文认为,对于平原上的河流,这一过程的临界态是可以用分形来描述的。下面两张图是作者汉斯-亨里克·斯托罗姆(Hans-Henrik Stolum)用纯粹的数学公式推演出来的河流演化,可以和上图对比一下。

river.pngriver2.png

无限的黄金(率)

lucas infinite.gif图片作者:LucasVB

这个φ不是别的,就是黄金分割率那个1.618了。当然如果你喜欢0.618,把前面的1去掉就是。

常用的黄金分割表达方式是golden.png,但是有一个有趣的连分数表达式,就是上面那张停不下来的动图。

当然实际中我们没法无穷地这么除下去……用这个连分数迭代来近似黄金比例的话,误差程度是:

600px-Golden_mean.png图片来源:wikipedia

还不错嘛。

为什么这个连分数无限迭代下去可以用来算黄金?注意它的格式:x = 1 + 1/x

而黄金率的定义你还记得吗?在下图中,如果 (a + b)/a = a/b ,那么这个比值就是黄金律。

500px-SimilarGoldenRectangles.svg.png图片来源:wikipedia

如果我们令 a/b = φ,那么上式就立刻化简成了

b0b7b7cf91f69a10a4982056c3ad0b50.png

如果你学过相关的迭代法求近似解理论,现在应该已经在颔首微笑了。如果没有,那么想着“这两个式子形式完全一样肯定有什么关联”就好……

 

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